No nosso curso de estatística aqui no TEC, vimos que, para dados agrupados por valor ou em rol, há uma série de dificuldades para se determinar medidas separatrizes. A determinação exata dos quantis, nesses casos, depende de alguma regra arbitrariamente escolhida.
Nós até estudamos especificamente o cálculo da mediana e dos quartis. Quanto às demais, deixamos de lado, porque não são cobradas em prova (*). Nós vimos que, no caso da mediana, tomamos sempre o valor central da série (caso tenhamos quantidade ímpar de elementos), ou a média entre os termos centrais (caso a quantidade seja par).
O detalhe, que não foi abordado em nosso curso, é que existe sim uma forma sistemática de cálculo de qualquer medida separatriz para dados em rol/agrupados por valor. Nós só não abordamos esse método porque ele, infelizmente, não é cobrado em provas.
Apenas para não passar batido, vou mostrar nesse artigo como funciona a metodologia.
Como exemplo, considere o seguinte conjunto de dados:
2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 9, 11, 11, 12, 13, 13, 13, 13, 15
Para determinar os quantis, a gente trabalha com a função que passa pelos pontos:
$$X_i, \, {i-0,5 \over n} $$
Em que $$X_i$$ representa o i-ésimo elemento e "n" indica o número de dados. No nosso exemplo, n = 20.
Exemplo. O primeiro termo vale 2. Logo:
$$X_1 = 2$$
$${i-0,5 \over 20} = {1-0,5 \over 20} =0,025 $$
Esta função nada mais é que uma adaptação da frequência relativa acumulada.
Na tabela abaixo eu resumo os resultados:
$$ \begin{array} {|c|c|c|} \hline i & X_i & {i-0,5 \over 20} \\
\hline 1 & 2 & 0,025 \\
\hline 2 & 3 & 0,075 \\
\hline 3 & 3 & 0,125 \\
\hline 4 & 4 & 0,175 \\
\hline 5 & 4 & 0,225 \\
\hline 6 & 5 & 0,275 \\
\hline 7 & 6 & 0,325 \\
\hline 8 & 6 & 0,375 \\
\hline 9 & 6 & 0,425 \\
\hline 10 & 7 & 0,475 \\
\hline 11 & 7 & 0,525 \\
\hline 12 & 9 & 0,575 \\
\hline 13 & 11 & 0,625 \\
\hline 14 & 11 & 0,675 \\
\hline 15 & 12 & 0,725 \\
\hline 16 & 13 & 0,775 \\
\hline 17 & 13 & 0,825 \\
\hline 18 & 13 & 0,875 \\
\hline 19 & 13 & 0,925 \\
\hline 20 & 15 & 0,975 \\
\hline
\end{array} $$
Pronto, feito isso, o próximo passo é aplicar a interpolação linear, exatamente como fazemos para dados em classe.
Exemplo: a mediana é o valor que corresponde a 0,5 (=50%). Só que 0,5 não tem na tabela acima. Fazemos interpolação linear considerando os valores vizinhos a 0,5. Ou seja, considerando que o primeiro 7 corresponde a 0,475 e o segundo 7 corresponde a 0,525. Fazendo interpolação linear, obtém-se que a mediana é igual a 7.
O primeiro quartil é o valor que corresponde a 0,25 (=25%). Só que 0,25 não tem na coluna de freqüências relativas acumuladas adaptadas. Consideramos, novamente, os valores vizinhos. Consideramos que o segundo 4 corresponde a 0,225 e 5 corresponde a 0,275. Fazendo interpolação linear, descobrimos que o primeiro quartil é igual a 4,5. Vejam:
$${Q_1-4 \over 0,25-0,225}={5-4 \over 0,275-0,225} $$
$${Q_1 - 4 \over 0,025} = {1 \over 0,05} \to Q_1 = 4,5 $$
E com esse mesmo raciocínio poderíamos descobrir qualquer outra medida separatriz.
E fica o alerta: nunca vi isso sendo cobrado em prova, por isso nunca abordei isso em curso algum. Mas fica aí a informação de que há uma forma sistemática para cálculo de qualquer medida separatriz, ainda que os dados estejam em rol ou agrupados por valor.
(*) Não confundir com medidas separatrizes para dados em classe - isso sim, algo que é extremamente frequente em provas
