Raciocínio Lógico - Analista da Receita Federal 2012

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Nesse artigo vamos comentar a prova de Raciocínio Lógico de Analista da Receita Federal 2012.

Destaco que não vi possibilidade de recursos.

Questão 56 - A negação da proposição “se Paulo estuda, então Marta é atleta” é logicamente equivalente à proposição a) Paulo não estuda e Marta não é atleta. b) Paulo estuda e Marta não é atleta. c) Paulo estuda ou Marta não é atleta. d) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta. e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta. Comentários Vamos representar as proposições simples por: $p$ : Paulo estuda $q$ : Marta é atleta A proposição dada foi:

$p \to q$

Queremos negar esta proposição:

$\neg (p \to q)$

Entre parêntesis temos um condicional. Podemos trocar um condicional por uma disjunção. Basta negar a primeira parcela e manter a segunda. Ou seja: $(p\to q) \equiv (\neg p \vee q)$ . Substituindo esse resultado em nossa proposição composta:

$\neg(p \to q) \equiv \neg (\neg p \vee q)$

Agora temos uma negação incidindo sobre uma proposição composta pelo "ou". Para negar uma proposição composta pelo "ou", negamos cada parcela e trocamos por "e". Assim:

negação da primeira parcela: $\neg(\neg p ) \equiv p$
negação da segunda parcela: $\neg q$
trocando o conectivo por "e": $p \wedge \neg q$

Em palavras:

Paulo estuda e Marta não é atleta.

Resposta: B

57- Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos. Se Natália é prima de Carlos, então Marta não é mãe de Rodrigo. Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é tia de Maria. Ora, Leila não é tia de Maria. Logo a) Marta não é mãe de Rodrigo e Paulo é irmão de Ana. b) Marta é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. c) Marta não é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. d) Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana. e) Natália não é prima de Carlos e Marta não é mãe de Rodrigo. Comentários: Nessa questão aplicamos um importante resultado relativo ao condicional. Um condicional $p \to q$ só é falso que as proposições $p$ e $q$ forem, nessa ordem, verdadeira e falsa. Ou seja, o condicional só será F se suas proposições simples forem V/F, nessa ordem. Portanto, num condicional verdadeiro ( $p \to q$ ), temos:

caso se saiba que $p$ é verdadeiro, pode-se afirmar que $q$ também é verdadeiro (do contrário, teríamos V/F e o condicional seria falso)
caso se saiba que $q$ é falso, pode-se afirmar que $p$ também é falso (do contrário, teríamos V/F e o condicional seria falso)

Vejamos então a questão.As premissas são: 1 - Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos. 2 - Se Natália é prima de Carlos, então Marta não é mãe de Rodrigo. 3 - Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é tia de Maria. 4 - Ora, Leila não é tia de Maria. Da premissa 4, concluímos que Leila não é tia de Maria.

Leila não é tia de Maria.

Agora analisamos a premissa 3, que também fala sobre Leila

3 - Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é tia de Maria (F).O consequente é falso, pois Leila não é tia de Maria. Então o antecedente também deve ser falso, para que o condicional seja verdadeiro. Portanto:

Marta é mãe de Rodrigo.

Agora vamos para a premissa 2:2 - Se Natália é prima de Carlos, então Marta não é mãe de Rodrigo (F). O consequente é falso, pois Marta é mãe de Rodrigo. Então o antecedente também deve ser falso, para que o condicional seja verdadeiro. O que nos leva a:

Natália não é prima de Carlos

Premissa 1:1 - Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos (F). Raciocínio idêntico. Concluímos que Paulo não é irmão de Ana. Resumindo tudo: Paulo não é irmão de Ana, Natália não é prima de Carlos, Marta é mãe de Rodrigo e Leila não é tia de Maria Resposta: D

58- Uma esfera foi liberada no ponto A de uma rampa.

Sabendo-se que o ponto A está a 2 metros do solo e que o caminho percorrido pela esfera é exatamente a hipotenusa do triângulo retângulo da ﬁgura abaixo, determinar a distância que a esfera percorreu até atingir o solo no ponto B. a) 5 metros b) 3 metros c) 4 metros d) 6 metros e) 7 metros Comentários: No triângulo retângulo, o seno de um ângulo corresponde à relação entre o cateto que lhe é oposto e a hipotenusa. Assim:

$\sin (30) = {2 \over \bar {AB}}$

O seno de 30 vale 0,5:

$0,5={2 \over \bar {AB}}$ $\bar {AB} = {2 \over 0,5} = 4$

Resposta: C

59 - Dada a matriz

$A = \begin{bmatrix} \vspace {5 cm} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

o determinante de $A^5$ e igual a a) 20. b) 28. c) 32. d) 30. e) 25

Resolução: Numa matriz quadrada de ordem 2, para calcular o determinante, fazemos os seguintes passos:

calculamos o produto dos elementos da diagonal principal
calculamos o produto dos elementos da diagonal secundária
subtraimos as duas quantias

Logo:

$\det (A) = 2 \times 1 - 1 \times 0 = 2$

Finalmente:

$\det(A^5) = \det(A \times A \times A \times A \times A)$ $= \det (A) \times \det (A) \times \det (A) \times \det (A) \times \det (A)$ $=2^5 = 32$

Resposta: C

60- A variância da amostra formada pelos valores 2, 3, 1, 4, 5 e 3 é igual a a) 3. b) 2. c) 1. d) 4. e) 5. Resolução: Primeiro calculamos a média amostral:

$\bar X = {2+3+1+4+5+3 \over 6} = {18 \over 6} = 3$

A variância amostral é dada por:

$s^2 = {1 \over n-1} \times \sum \limits _{i=1} ^n (X_i - \bar X )^2$ $s^2 = {1 \over 6-1} \times \left [ (2-3)^2+(3-3) ^2 + (1-3)^2 + (4-3)^2+ (5-3) ^2 + (3-3)^2 \right ]$ $s^2 = {1 \over 5} \times 10 = 2$

Resposta: B

61- O Ministério da Fazenda pretende selecionar ao acaso 3 analistas para executar um trabalho na área de tributos. Esses 3 analistas serão selecionados de um grupo composto por 6 homens e 4 mulheres. A probabilidade de os 3 analistas serem do mesmo sexo é igual a a) 40%. b) 50%. c) 30%. d) 20%. e) 60%. Comentários: Casos possíveis: temos 10 pessoas e queremos selecionar 3, sem reposição. Trata-se de um caso de combinação de 10 elementos, tomados 3 a 3:

${10 \choose 3} = {10! \over 7! \times 3!} = {10 \times 9 \times 8 \over 3 \times 2} = 120$

Casos favoráveis 1ª situação: escolha de 3 homens. Temos 6 homens e queremos escolher 3. A quantidade de formas de fazer isso é:

${6 \choose 3} = {6! \over 3! \times 3!} = {6 \times 5 \times 4 \over 3 \times 2} = 20$

Há 20 formas de escolhermos 3 homens. 2ª situação: escolha de 3 mulheres. Temos um caso de combinação de 4 mulheres, tomadas 3 a 3:

${4 \choose 3} = {4! \over 3!} = 4$

Há 4 formas de escolhermos 3 mulheres.Somando tudo, são $20+4=24$ casos favoráveis Probabilidade A probabilidade é dada pela relação entre casos favoráveis e casos possíveis.

$P = {24 \over 120} = 20%$

Resposta: D

62- Marta aplicou R$ 10.000,00 em um banco por 5 meses, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. Após esses 5 meses, o montante foi resgatado e aplicado em outro banco por mais 2 meses, a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. O valor dos juros da segunda etapa da aplicação é igual a a) R$ 221,10. b) R$ 220,00. c) R$ 252,20. d) R$ 212,20. e) R$ 211,10. Resolução: Primeira aplicação: o capital é de R$ 10.000,00, o prazo é de 5 meses e a taxa é de 2% ao mês (juros simples)

$M = 10.000 \times (1+0,02 \times 5) = 10.000 \times 1,1 = 11.000$

Segunda aplicação: o capital é de 11.000,00, o prazo é de 2 meses e a taxa é de 1% ao mês.

$M= 11.000 \times 1,01^2 = 11.221,10$

O juro é a diferença entre montante e capital:

$J = M - C = 11.221,10 - 11.000 = 221,10$

Resposta: A

63- Um título de R$ 20.000,00 foi descontado 4 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 5% ao mês. A taxa efetiva mensal de juros simples dessa operação é igual a

a) 6,50%. b) 5,50%. c) 5,25%. d) 6,00%. e) 6,25%. Resolução: No desconto comercial simples, temos:

$D = N \times d \times n$

Onde "N" é o valor nominal, "d" é a taxa de desconto e "n" é o número de períodos de antecipação.

$D = 20.000 \times 0,05 \times 4 = 4.000$

O valor atual (A) é a diferença entre valor nominal e desconto:

$A = N - D = 20.000-4.000=16.000$

A taxa efetiva é aquela que converte o valor atual no valor nominal.

$M = C \times (1+ni)$

$20.000 = 16.000 \times (1+ 4 \times i)$ ${20.000 \over 16.000} = 1+4i$ $1+4i=1,25$ $4i=25%$ $i=6,25%$ Resposta: E

64- Para construir 120 m2 de um muro em 2 dias, são necessários 6 pedreiros. Trabalhando no mesmo ritmo, o número de pedreiros necessários para construir 210 m2 desse mesmo muro em 3 dias é igual a

a) 2. b) 4. c) 3. d) 5. e) 7. Resolução:

Área	Dias	Pedreiros
120	2	6
210	3	x

Quanto mais pedreiros disponíveis, maior a área de muro construída. As grandezas são diretamente proporcionais. Quanto mais pedreiros disponíveis, menos tempo gastaremos para construir o muro. As grandezas são inversamente proporcionais. Agora, montamos as frações. De um lado da igualdade a fração usada como referência (pedreiros):

$6 \over x} =$

Do outro lado a igualdade, colocamos as demais frações multiplicando. Tomamos o cuidado de inverter aquelas que são inversamente proporcionais à quantidade de pedreiros.

${6 \over x} = {120 \over 210} \times {3 \over 2}$

${1 \over x} = {120 \over 6} \times {3 \over 2} \times {1 \over 210}$ ${1 \over x} = 20 \times {3 \over 2} \times {1 \over 210}$ ${1 \over x} = {30 \over 210} = {1 \over 7}$ $x = 7$

Resposta: E

65 - Em um tanque há 3 torneiras. A primeira enche o tanque em 5 horas, a segunda, em 8 horas, já a terceira o esvazia em 4 horas. Abrindo-se as 3 torneiras ao mesmo tempo e estando o tanque vazio, em quanto tempo o tanque ﬁcará cheio?

a) 10 horas e 40 minutos b) 13 horas e 20 minutos c) 14 horas e 30 minutos d) 11 horas e 50 minutos e) 12 horas e 10 minutos

Resolução:

Vamos jogar valores, para facilitar o raciocínio. Suponha que o tanque tem 40 litros. Por que 40? Porque 40 é múltiplo de 5, 8 e de 4. Continuando A primeira torneira enche o tanque em 5 horas. Ou seja, em 5 horas, enche 40 litros. Portanto, em 1 hora (1/5 do tempo), ela enche 1/5 do tanque (=8 litros). A segunda torneira enche 40 litros em 8 horas. Logo, em 1 hora (1/8 do tempo) ela enche 1/8 do tanque (= 5 litros). A terceira torneira esvazia 40 litros em 4 horas. Logo, em 1 hora (1/4 do tempo) ela esvazia 1/4 do tanque (=10 litros). Se acionarmos as 3 torneiras ao mesmo tempo, em 1 hora teremos:

(8 litros da primeira torneira) + (5 litros da segunda torneira) - (10 litros da terceira torneira) = 3 litros

Elas enchem 3 litros por hora.

3 litros --- 1 hora

40 litros --- x

Multiplicando cruzado:

$3x = 40 \to x = {40 \over 3}=13+{1 \over 3}$

São gastas 13 horas mais 1/3 de hora para encher o tanque.

Lembrando que 1/3 de hora equivale a 20 minutos. Logo, são gastos 13 horas e 20 minutos. Resposta: B Aproveite para acessar nossos cadernos com questões comentadas! -> Raciocínio Lógico (Operadores) -> Probabilidade -> Matrizes -> Juros

Vítor Menezes

Sócio fundador do Tec Concursos. Engenheiro Eletrônico pelo ITA. Foi Auditor Fiscal da SEFAZ/MG, e também Auditor Federal de Controle Externo do TCU. Atualmente dedica-se exclusivamente ao Tec Concursos.